発売から２年以上経って中古で購入したGALAXY S III（SC-06D）
保証も糞もないので最初からroot化しました。
が、購入時は既にファームウェアが最新のJZO54K.SC06DOMBMK2になっていました。
root化で検索するとよく出てくるroot化キットはSC06DOMALG1で行うもの。
では、SC06DOMALG1にバージョンダウンしてから実行しようと
早速SC06DOMALG1とOdinを使ってファームダウン！
再起動するとSAMSUNGロゴで止まって起動しない・・・
調べてみると、どうも最新のファームから初期ファームへのバージョンダウンは
対策が取られているのか出来ない模様。
更に色々調べてみると、JZO54K.SC06DOMBMK2から直でroot化に成功している人を発見！
Galaxy S3 (SC-06D) LG6アップデート後のroot取得の流れ
う～ん、素晴らしい。
ということで、この通りやればroot化に成功しました。
そして、以下のサイトを参考にテザリングも完了。
（直接apkを書き換える方法もあるようだけど、こちらの方が安全です）
テザリング可能にするのに１点はまったのは、XposeInstallerでXposeをインストールしてもちゃんと動かなかったこと。
最新版を取って来て入れてもダメで、以下のサイトから2.1.4を取得して来たら動きました。
Xposed Module Repository
一番上に最新版のリンクがありますが下のShow older versionsをクリックすれば
過去バージョンもダウンロードできます。
2014/11/15 追記
最新のXpose2.7でのインストールが出来ました。
（エラーになった2.6.1でも手順は同じです）
普通にフレームワークのインストールを行おうとしても再起動するだけで失敗します。
そこで「設定」から「インストール方法」を選択し、デフォルトのクラシックではなく
「リカバリ（自動でzipインストール）」を選択し、フレームワークをインストールすればOKです。
この方法で最新版のXposeをインストールすることが出来ました。
この記事の通りにしてroot+強制APN切り替えOFFできました。ありがとうございます。私の場合も元々MK2であるなど条件は同じだったはずですが、Xpose2.7(Experimental1)ではうまくいかず、結局2.1.4まで落とした。
xposedの最新版をインストールするには、上記ぐぐたす説明文の、５と６の間でHOMEキー＋ボリューム上を押してCWMのリカバリーメニューから、[install zip]→[toggle signature verificantion]を[disabled]にする必要があります。少なくとも自分はそれで成功しました。
youtube KzGgoTTXlSk
こちらの動画が参考になるかと
ひろゆきさん
既にこの機種が手元にないので、フォローして頂き助かります。